Question

【題目】已知點E在橢圓上，以E為圓心的圓與x軸相切于橢圓C的右焦點，與y軸相交于A，B兩點，且是邊長為2的正三角形．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知圓，設圓O上任意一點P處的切線交橢圓C于M、N兩點，試判斷以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出該定點坐標，并直接寫出的值；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以為直徑的圓過原點，坐標為，且為定值

【解析】

（Ⅰ）根據圓的切線性質可以知道，這樣可以求出點E的坐標，利用等邊三角形的性質，可以求出、的值，再根據，最后求出的值，也就求出橢圓C的方程；

（Ⅱ）當過點P且與圓O相切的切線的斜率不存在時，設出直線方程，求出M、N兩點的坐標，判斷是否成立，可以判斷以為直徑的圓是否過定點，也就能求出的值；

當過點P且與圓O相切的切線的斜率存在時，設出直線的截距式方程，設出M、N兩點的坐標，根據直線和圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，可得到一個等式，

聯立直線方程和橢圓方程，消去，得到一個關于的一元二次方程，利用根與系數關系，計算的值，最后可以求出的值.

解：（Ⅰ）由題意可得軸，則，

因為是邊長為2的正三角形，

所以

，且，

解得，，

所以橢圓方程為．

（Ⅱ）當過點P且與圓O相切的切線的斜率不存在時，

可設切線方程為，可得，，

則，所以，

此時以為直徑的圓過原點，

為定值；

當過點P且與圓O相切的切線的斜率存在時，可設切線方程為，，，

由直線和圓相切可得，即，

聯立直線方程和橢圓方程，

可得，

即有，，，

，

可得，

此時．

綜上可得以為直徑的圓過原點，且為定值．