Question

12．函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，則下列結論：①將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，所得到的函數是偶函數：②f（0）=1；③最小正周期為π；④$f（\frac{12π}{11}）＜f（\frac{14π}{13}）$；⑤$f（x）=-f（\frac{5π}{3}-x）$．其中正確的結論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據圖象求出A，ω 和φ，即可求函數f（x）的解析式；在依次正弦函數圖象及性質判斷即可．

解答 解：由題設圖象知，A=2．
周期T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{4π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵點（$\frac{π}{3}$，0）在函數圖象上，
∴2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，即$\frac{2π}{3}$+φ=kπ．
又∵x=$\frac{7π}{12}$時，函數f（x）取得最小值，即$\frac{7π}{6}+$φ=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
∴同時滿足條件φ=$\frac{π}{3}$．
故函數f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
對于①：函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數y=2sin（2x$+\frac{2π}{3}$），所得到的函數不是偶函數；①不對．
對于②：當x=0時，可得f（0）=2sin（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$；②不對．
對于③：最小正周期為π．③對．
對于④：f（$\frac{12π}{11}$）=2sin（$\frac{24π}{11}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{83π}{33}$=2sin（$2π+\frac{17π}{33}$）=2sin（$\frac{17π}{33}$），
f（$\frac{14π}{13}$）=2sin（$\frac{28}{13}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{97π}{39}$=2sin（2π$+\frac{11π}{13}$）=2sin（$\frac{11π}{13}$），
由圖象可得：sin（$\frac{17π}{33}$）＜0，sin（$\frac{11π}{13}$）＞0，∴$f（\frac{12π}{11}）＜f（\frac{14π}{13}）$；④對．
對于⑤：f（$\frac{5π}{3}-x$）=2sin（$\frac{10π}{3}-2x+\frac{π}{3}$）=2sin（4π$-\frac{π}{3}$-2x）=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-f（x）
∴$f（x）=-f（\frac{5π}{3}-x）$．⑤對．
綜上可得：③④⑤對．
故答案為：C．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．