Question

2．某市舉行的英文拼字大賽中，要求每人參賽隊(duì)選取2名選手比賽，有兩種比賽方案，方案一：現(xiàn)場拼詞，正確得2分，不正確不得分；方案二：聽錄音拼詞，正確得3分，不正確不得分，比賽項(xiàng)目設(shè)個(gè)人賽：每位選手可自行選擇方案，拼詞一次，累計(jì)得分高者勝．團(tuán)體賽：2名選手只能選擇同一方案，每人拼詞一次，兩人得分累計(jì)得分高者勝．現(xiàn)有來自某參賽隊(duì)的甲、乙兩名選手，他們?cè)凇艾F(xiàn)場拼詞”正確的概率均為$\frac{2}{3}$，在“聽錄音拼詞”正確的概率為p₀（0＜p₀＜1）．
（Ⅰ）在個(gè)人賽上，甲選擇了方案一，乙選擇了方案二，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們的累計(jì)得分不超過3分的概率為$\frac{7}{9}$，求
p₀．
（Ⅱ）在團(tuán)體賽上，甲、乙兩人選擇何種方案，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，事件A的對(duì)立事件是“X=5”，
根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式列方程求出P₀；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人都選擇方案一得分為X₁，都選擇方案二得分為X₂，
計(jì)算這兩人都選擇方案一累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X₁），
都選擇方案二累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₂），計(jì)算數(shù)學(xué)期望，比較得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，甲選擇方案一，得分的概率為$\frac{2}{3}$，
乙選擇方案二，得分的概率為P₀，且兩人得分與否互不影響；
記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件為“X=5”，
因?yàn)镻（X=5）=$\frac{2}{3}$×P₀，所以P（A）=1-P（X=5）=1-$\frac{2}{3}$×P₀=$\frac{7}{9}$，
所以P₀=$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙都選擇方案一得分為X₁，都選擇方案二得分為X₂，
則這兩人選擇方案一累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2X₁），
選擇方案二累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3X₂）；
由已知可得，X₁～B（2，$\frac{2}{3}$），X₂～B（2，P₀），
所以E（X₁）=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，E（X₂）=2×P₀，
從而E（2X₁）=2E（X₁）=$\frac{8}{3}$，E（3X₂）=3E（X₂）=6P₀；
若E（2X₁）＞E（3X₂），則$\frac{8}{3}$＞6P₀，所以0＜P₀＜$\frac{4}{9}$；
若E（2X₁）＜E（3X₂），則$\frac{8}{3}$＜6P₀，所以$\frac{4}{9}$＜P₀＜1；
若E（2X₁）=E（3X₂），則$\frac{8}{3}$=6P₀，所以P₀=$\frac{4}{9}$；
綜上，0＜P₀＜$\frac{4}{9}$時(shí)，選擇方案一累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望大；
$\frac{4}{9}$＜P₀＜1時(shí)，選擇方案二累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望大；
P₀=$\frac{4}{9}$時(shí)，選擇方案一或二，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望一樣大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，確定X服從的分布是解題的關(guān)鍵．