Question

【題目】解答題
（1）（1）已知命題p：|x2﹣x|≥6，q：x∈Z且“p且q”與“非q”同時為假命題，求x的值．
（2）已知p：x2﹣8x﹣20≤0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵非q是假，則q是真，

又∵P且q是假∴P假即非P真，

∴|x2﹣x|＜6，且x∈Z，

∴﹣6＜x2﹣x＜6且x∈Z，

即 ，

解之得： ，

∴x=﹣1，0，1，2

（2）

解：由題知，若p是q的必要不充分條件的等價命題為：p是q的充分不必要條件．

由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10，

∴p：﹣2≤x≤10；

由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），整理得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0

解得 1﹣m≤x≤1+m，

∴q：1﹣m≤x≤1+m

又∵p是q的充分不必要條件

∴，∴m≥9，

∴實數m的取值范圍是[9，+∞）

【解析】（1）解絕對值不等式|x2﹣x|≥6，我們可以求出命題p成立時，x的取值范圍，再由p且q與非q都是假命題，可得x應滿足P假且q真，由此構造關于x的不等式組，解不等式組即可得到x的取值范圍；（2）由絕對值不等式及一元二次不等式的解法，得到p，q的等價命題．又由￢p是￢q的必要而不充分條件的等價命題為：p是q的充分不必要條件，再由判斷充要條件的方法，我們可知命題“x∈A”是命題“x∈B”的充分不必要條件，得到A、B的關系，進而得到m的取值范圍．