Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），直線y=x+ 與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，F1 ， F2為其左右焦點，P為橢圓C上的任意一點，△F1PF2的重心為G，內心為I，且IG∥F1F2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A為橢圓C上的左頂點，直線∫過右焦點F2與橢圓C交于M，N兩點，若AM，AN的斜率k1 ， k2滿足k1+
k2=﹣ ，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x0，y0），I（x1，y1），則G（ ）．

又IG∥F1F2， ，|F1F2|=2c，

∴ = |F1F2||y0|= ．

∴2c= ，故a=2c．

又直線y=x+ 與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切，

∴b= = ，

∴a=2，c=1．∴ ．

（2）解：若直線l斜率不存在，顯然k1+k2=0不合題意；

則直線l的斜率存在．

設直線l為y=k（x﹣1），直線l和橢圓交于M（x1，y1），N（x2，y2）．

將y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得：

（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

依題意：△=9k2+9＞0，

由韋達定理知： ，

又kAM+kAN= =k（ ）

=k[2﹣3（ ）]，

=

=

= ，

從而kAM+kAN=k（2﹣3 ）=﹣ ，

解得k=2，符合△＞0．

故所求直線MN的方程為：y=2（x﹣1）

【解析】（1）設P（x0 ， y0），I（x1 ， y1），則G（ ），由已知條件推導出a=2c，b= = 由此能求出橢圓方程．（2）設直線l為y=k（x﹣1），直線l和橢圓交于M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．將y=k（x﹣1）代入3x2+4y2=12中，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韋達定理能求出直線MN的方程．