Question

已知函數f（x）=

- x 2   +2x

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若0＜x₁＜x₂＜1，試比較

f(x1)

x1

與

f(x2)

x2

的大小；
（3）設g（x）=f（x）-kx-2，若函數g（x）有且只有一個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數成立的條件即可求函數f（x）的定義域；
（2）判定函數

f(x)

x

在0＜x＜1上的單調性即可比較

f(x1)

x1

與

f(x2)

x2

的大小；
（3）令g（x）=0，將方程轉化為兩個函數，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：（1）要使函數有意義，則2x-x²≥0，即x²-2x≤0，
解得0≤x≤2，即函數的定義域為[0，2]．
（2）∵

f(x)

x

=

2 x -1

在（0，1）上遞減，
∴當0＜x₁＜x₂＜1時，

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

．
（3）由g（x）=f（x）-kx-2=0，則f（x）=kx+2，
設y=kx+2，y=f（x），
則函數y=f（x）的圖象是以（1，0）為圓心，半徑為1的上半圓，
當直線y=kx+2過點C（2，0）時，此時直線的斜率k=-1，兩個圖象有兩個交點，
當直線和圓相切時，由圓心到直線的距離d=

|k+2|

k2+1

=1，
解得k=-

3

4

，
故函數g（x）有且只有一個零點，則實數k滿足k=-

3

4

或k＜-1，
即k∈(-∞，-1)∪{-

3

4

}．

點評：本題主要考查函數的定義域，函數的單調性以及函數零點的應用，綜合考查函數的性質．