Question

【題目】某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區域用于產品展示,該封閉區域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區域內原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區,該廣告商欲在此基礎上,將其改建成一個凸四邊形的展示區,其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點．已知長為40米,設為．（上述圖形均視作在同一平面內）

（1）記四邊形的周長為,求的表達式;

（2）要使改建成的展示區的面積最大,求的值．

Answer 1

【答案】（1）,．（2）

【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據直線與圓相切的性質求出,從而求出;

（2）求得的表達式,通過求導研究函數的單調性求得最大值.

解：（1）連．由條件得．

在三角形中,,,,由余弦定理,得

,

因為與半圓相切于,所以,

所以,所以．

所以四邊形的周長為

,．

（2）設四邊形的面積為,則

,．

所以,．

令,得

列表：

	+	0	-
	增	最大值	減

答：要使改建成的展示區的面積最大,的值為．