Question

（本小題滿分15分）如圖，已知橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的長軸AB長為4，離心率e＝，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP＝PQ，連結AQ延長交直線于點M，N為的中點．

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：Q點在以為直徑的圓上；

（3）試判斷直線QN與圓的位置關系．

Answer 1

解：（1）由題設可得，解得，∴．          （2分）

∴橢圓的方程為．                                        （4分）

（2）設，則．∵，∴．

∴．                                             （7分）

∴點在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點在以為直徑的圓上． （9分）

（3）設，則，且．又，

∴直線的方程為．令，得．又，為的中點，

∴．∴，．                   （12分）

∴

．∴．                      （14分）

∴直線與圓相切．                                               （15分）