Question

1．已知平面內動點P與點A（-3，0）和點B（3，0）的連線的斜率之積為-$\frac{8}{9}$．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設點P的軌跡且曲線C，過點（1，0）的直線與曲線C交于M，N兩點，記△AMB的面積為S₁，△ANB的面積為S₂，當S₁-S₂取得最大值時，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由a=3，利用橢圓的離心率公式，即可求得c，則b²=a²-c²=8，即可求得橢圓方程；
（2）設直線MN方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，S₁-S₂=3丨y₁丨-3丨y₂丨=3丨y₁+y₂丨利用韋達定理及基本不等式的性質，即可求得面積最大值時，m的取值，分類討論，分別求得y₁及y₂，即可求得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：（1）由題意可知：2a=6，則a=3，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，
則c=1，b²=a²-c²=8，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MN的方程：l_MN：x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（8m²+9）y²+16my-64=0，
顯然△＞0，
則y₁+y₂=-$\frac{16m}{8{m}^{2}+9}$，y₁y₂=-$\frac{64}{8{m}^{2}+9}$，
S₁=$\frac{1}{2}$丨AB丨×丨y₁丨=3丨y₁丨，同理S₂=3丨y₂丨，
不妨設，丨y₁丨＞丨y₂丨，
于是S₁-S₂=3丨y₁丨-3丨y₂丨=3丨y₁+y₂丨=$\frac{48丨m丨}{8{m}^{2}+9}$，
當S₁-S₂最大時，m≠0，
則S₁-S₂=$\frac{48}{8丨m丨+\frac{9}{丨m丨}}$≤$\frac{48}{2\sqrt{8丨m丨•\frac{9}{丨m丨}}}$=2$\sqrt{2}$，
當且僅當8丨m丨=$\frac{9}{丨m丨}$，即m²=$\frac{9}{8}$，即m=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，則S₁-S₂取最大值，
若m=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，則18y²+12$\sqrt{2}$y-64=0，
解得：y=$\frac{-2±\sqrt{34}}{3}$，y₁=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{3}$，y₂=$\frac{-2+\sqrt{34}}{3}$，
則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=丨$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$丨=丨$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}$丨=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$，
若m=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，則18y²-12$\sqrt{2}$y-64=0，
解得：y=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{34}}{3}$，則y₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{3}$，y₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{34}}{3}$，
此時$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=丨$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$丨=丨$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{\sqrt{2}-\sqrt{34}}$丨=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$，
綜上可知：$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．