Question

若函數f(x)＝(1－x²)(x²＋ax＋b)的圖象關于直線x＝－2對稱，則f(x)的最大值為________．

Answer 1

16

因為點(1，0)，(－1，0)在f(x)的圖象上，且圖象關于直線x＝－2對稱，所以點(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的圖象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0，聯立，解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x²)(x²＋8x＋15)，即f(x)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)＝－(x²＋4x＋3)(x²＋4x－5)．令t＝x²＋4x＝(x＋2)²－4≥－4，則f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t－1)²＋16，當t＝1時，f(x)_max＝16.