Question

【題目】一種室內植物的株高（單位：）與與一定范圍內的溫度（單位：）有，現收集了該種植物的組觀測數據，得到如圖所示的散點圖：

現根據散點圖利用或建立關于的回歸方程，令，，得到如下數據：

且與的相關系數分別為、，其中．

（1）用相關系數說明哪種模型建立關于的回歸方程更合適；

（2）（i）根據（1）的結果及表中數據，求關于的回歸方程；

（ii）已知這種植物的利潤（單位：千元）與、的關系為，當何值時，利潤的預報值最大.

附：對于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，

相關系數，．

Answer 1

【答案】（1）用模型建立與的回歸方程更合適；（2）（i）；

（ii）當溫度為時，這種草藥的利潤的預報值最大.

【解析】

（1）利用相關系數公式計算出相關系數的值，并比較、的大小關系，選擇相關系數絕對值較大的模型較好；

（2）（i）將相關數據代入最小二乘法公式得出和的值，可得出關于的回歸方程；

（ii）先得出關于的函數解析式，然后利用基本不等式求出的最大值，并注意等號成立的條件，從而解答該問題.

（1）由相關系數公式可得

，

，所以用模型建立與的回歸方程更合適；

（2）（i）由題意可得，

，

因此，關于的回歸方程為；

（ii）由題意知，

由基本不等式可得，所以，

當且僅當時等號成立，

所以當溫度為時，這種草藥的利潤的預報值最大.