Question

【題目】設(shè)數(shù)列A： ， ,… (N≥2)。如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有 ＜ ，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”。記“G（A）是數(shù)列A 的所有“G時刻”組成的集合。
（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出G（A）的所有元素；
（2）證明：若數(shù)列A中存在 使得 > ，則G（A） ；
（3）證明：若數(shù)列A滿足 - ≤1（n=2,3, …,N）,則GA．的元素個數(shù)不小于 - 。

Answer 1

【答案】
（1）

解：

（2）

證明：因為存在 ，設(shè)數(shù)列 中第一個大于 的項為 ，則 ，

其中 ，所以 ，

（3）

證明：設(shè) 數(shù)列的所有“ 時刻”為 ，

對于第一個“ 時刻” ，有 ， ，則

．

對于第二個“ 時刻” ，有 （ ）．

則 ．

類似的 ，…， ．

于是， ．

對于 ，若 ，則 ；

若 ，則 ，否則由⑵，知 中存在“ 時刻”，與只有 個“ 時刻”矛盾．

從而， ，證畢

【解析】（1）結(jié)合“G時刻”的定義進行分析；（2）可以采用假設(shè)法和遞推法進行分析；（3）可以采用假設(shè)法和列舉法進行分析
【考點精析】掌握數(shù)學歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道數(shù)學歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．