Question

【題目】如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點．

求證：(1)AN∥平面A1MK；

(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析： 要證明平面，只需要證明平行于平面內的一條直線，容易證明，從而得到證明；

要證明平面，只需要證明平面內的直線垂直于平面即可，而容易證明，從而問題得到解決；

解析：證明　(1)如圖所示，連接NK.

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，

∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分別為CD，C1D1的中點，

∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四邊形DD1KN為平行四邊形．

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.

∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K.

∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.

(2)如圖所示，連接BC1.

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.

∵M，K分別為AB，C1D1的中點，

∴BM∥C1K，BM＝C1K.

∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1.

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.

∴MK⊥B1C.

∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.