Question

【題目】已知函數f（x）=3x ， f（a+2）=27，函數g（x）=λ2ax﹣4x的定義域為[0，2]．
（1）求a的值；
（2）若λ=2，試判斷函數g（x）在[0，2]上的單調性，并加以證明；
（3）若函數g（x）的最大值是 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：27=3a+2=33，∴a=1
（2）解：由（1）及λ=2得，g（x）=22x﹣4x．

任取0≤x1＜x2≤2，則x2﹣x1＞0，

∴g（x2）﹣g（x1）= =

= =

∵0≤x1＜x2≤2，∴ ，

∴ ＞0，

∴2﹣ ＜0，

∴ ＜0

即g（x2）﹣g（x1）＜0，

即g（x1）＞g（x2），

∴g（x）在[0，2]上是減函數

（3）解：設t=2x，∵0≤x≤2，

∴1≤2x≤4．

∴1≤t≤4．

y=﹣t2+λt= ，1≤t≤4．

①當 ＜1，即λ＜2時，ymax=λ﹣1= ，∴λ= ；

②當1≤ E≤4，即2≤λ≤8時，ymax= ，∴λ= [2，8]（舍）；

③當 ＞4，即λ＞8時，ymax=﹣16+4λ= ，∴λ= ＜8（舍）．

綜上λ=

【解析】（1）根據函數表達式，結合題意得3a+2=27，利用指數的運算性質可得實數a的值；（2）利用單調性的定義證明即可；（3）令2x=t，可得g（x）=h（t）=﹣（t﹣ ）2+ ，其中t∈[1，4]．再根據二次函數的單調性進行分類討論，分別建立關于λ的方程，解之并加以檢驗，最后綜合可得函數g（x）的最大值是 時，實數λ的值 ．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．