Question

【題目】已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A（x1 ， y1）和B（x2 ， y2）（x1＜x2）兩點，且|AB|=9，
（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若=+λ ， 求λ的值．

Answer 1

【答案】解：（1）直線AB的方程是y=2（x﹣），與y2=2px聯立，有4x2﹣5px+p2=0，
∴x1+x2=
由拋物線定義得：|AB|=x1+x2+p=9
∴p=4，∴拋物線方程是y2=8x．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，
∴x1=1，x2=4，
y1=﹣2，y2=4，從而A（1，﹣2），B（4，4）．
設=（x3 ， y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2）
又[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．
【解析】（1）直線AB的方程與y2=2px聯立，有4x2﹣5px+p2=0，從而x1+x2= ， 再由拋物線定義得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，則拋物線方程可得．
（2）由p=4，4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4，4）．再求得設的坐標，最后代入拋物線方程即可解得λ．