Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， a1=10，an+1=9Sn+10．
（1）求證：{lgan}是等差數列；
（2）設Tn是數列{ }的前n項和，求Tn；
（3）求使Tn＞ （m2﹣5m）對所有的n∈N*恒成立的整數m的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=10，an+1=9Sn+10．

∴當n=1時，a2=9a1+10=100，

故 ，

當n≥1時，an+1=9Sn+10 ①，

an+2=9Sn+1+10 ②，

兩式相減得an+2﹣an+1=9an+1，

即an+2=10an+1，

即 ，

即{an}是首項a1=10，公比q=10的等比數列，

則數列{an}的通項公式 ；

則lgan=lg10n=n，

則lgan﹣lgan﹣1=n﹣（n﹣1）=1，為常數，

即{lgan}是等差數列；

（2）解：∵lgan=n，則 = （ ﹣ ），

則Tn=3（1﹣ +…+ ﹣ ）=3（1﹣ ）=3﹣ ，

（3）解：∵Tn=3﹣ ≥T1= ，

∴要使Tn＞ （m2﹣5m）對所有的n∈N*恒成立，

則 ＞ （m2﹣5m）對所有的n∈N*恒成立，

解得﹣1＜m＜6，

故整數m的取值集合{0，1，2，3，4，5}．

【解析】（1）根據等差數列的定義即可證明{lgan}是等差數列；（2）求出{ }的通項公式，利用裂項法即可求Tn；（3）直接解不等式即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差關系的確定的相關知識，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．