【題目】設O為坐標原點，動點M在橢圓C
上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足
.
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設點
在直線
上，且
.證明：過點P且垂直于OQ的直線
過C的左焦點F.
【答案】(1) 
.(2)證明見解析.
【解析】試題分析：（1）轉移法求軌跡：設所求動點坐標及相應已知動點坐標，利用條件列兩種坐標關系，最后代入已知動點軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點問題，一般方法是以算代證：即證
，先設 P（m，n），則需證
，即根據條件
可得
，而
，代入即得
.
試題解析：解：（1）設P（x，y），M（
）,則N（
），
由
得
.
因為M（
）在C上，所以
.
因此點P的軌跡為
.
由題意知F（-1,0），設Q（-3，t），P（m，n），則
，
.
由
得-3m-
+tn-
=1，學&科網又由（1）知
，故
3+3m-tn=0.
所以
，即
.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒成立的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取
個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下．根據壽命將燈泡分成優等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于
天的燈泡是優等品，壽命小于
天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品．
壽命（天） | 頻數 | 頻率 |
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合計 |
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（Ⅰ）根據頻率分布表中的數據，寫出
， 
的值．
（Ⅱ）某人從燈泡樣品中隨機地購買了
個，求
個燈泡中恰有一個是優等品的概率．
（Ⅲ）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了
個進行使用，若以上述頻率作為概率，用
表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC沿BC邊上的高AD折成直二面角BADC，則三棱錐BACD的外接球的表面積為( )
A. 5π B. 
C. 10π D. 34π
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2017·安徽名校階段性測試)如圖所示，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點，AE＝3，圓O的直徑CE＝9.
(1)求證：平面ABE⊥平面ADE；
(2)求五面體ABCDE的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos2
+acos2
=
c．
（Ⅰ）求證：a，c，b成等差數列；
（Ⅱ）若C=
，△ABC的面積為2
，求c．
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