Question

【題目】(2017·安徽名校階段性測試)如圖所示，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C，D的點，AE＝3，圓O的直徑CE＝9.

(1)求證：平面ABE⊥平面ADE；

(2)求五面體ABCDE的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析:(1) 先由線面垂直性質定理得AE⊥CD. 再由圓的性質得CD⊥DE，由線面垂直判定定理得CD⊥平面ADE. 最后根據平行得AB⊥平面ADE.,由面面垂直判定定理得結論( 2)先將五面體分割成兩個三棱錐B-ADE和B-CDE,兩個三棱錐的高為AB,AE,最后代入錐體體積公式即得結果

試題解析:解：(1)證明：∵AE垂直于圓O所在平面，CD圓O所在平面，∴AE⊥CD.

又CD⊥DE，AE∩DE＝E，AE平面ADE，DE平面ADE，

∴CD⊥平面ADE.

在正方形ABCD中，CD∥AB，

∴AB⊥平面ADE.

又AB平面ABE，

∴平面ABE⊥平面ADE.

(2)連接AC，BD，設正方形ABCD的邊長為a，則AC＝a，

又AC2＝CE2＋AE2＝90，

∴a＝3，DE＝6，

∴VBADE＝BA·S△ADE

＝×3×＝9.

又AB∥CD，CD平面CDE，

∴點B到平面CDE的距離等于點A到平面CDE的距離，即AE，

∴VBCDE＝AE·S△CDE＝×3×＝9，

故VABCDE＝VBCDE＋VBADE＝18.