Question

如圖，正方形CDEF內接于橢圓，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形GHPQ的頂點G,H在橢圓上，頂點P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=．

(1)求橢圓的方程；
(2)已知點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個不同點，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓相交問題等數學知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，由圖形分析，利用CD和PQ的邊長得出點E和點G的坐標，由于這2點都在橢圓上，聯立方程得出和，從而得到橢圓的標準方程；第二問，通過對題意的分析，只需證明直線MA，MB的斜率之和為0即可，設出A，B點坐標，列出2條直線的斜率的表達式，直線與橢圓方程聯立消參，得到關于x的方程，列出兩根之和與兩根之積，而通過轉化可以將得到的兩根之和與兩根之積代入，只要最后化簡結果為0即可.
試題解析：(1)∵，∴點，
又∵，∴點，
則，解得，
∴橢圓方程.（4分）
(2)設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁＋k₂＝0即可，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則，，直線l方程為，代入橢圓方程消去y，
得x²＋2mx＋2m²－4＝0可得x₁＋x₂＝－2m，x₁x₂＝2m²－4.（9分）
而



，（12分）
∴k₁＋k₂＝0，故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.（13分）