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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，設(shè)E：

＝1(a＞b＞0)的焦點為F₁與F₂，且P∈E，∠F₁PF₂＝2θ.求證：△PF₁F₂的面積S＝b²tanθ.

見解析

設(shè)|PF₁|＝r₁，|PF₂|＝r₂，則S＝

r₁r₂sin2θ.又|F₁F₂|＝2c，
由余弦定理有(2c)²＝

＋

－2r₁r₂cos2θ＝(r₁＋r₂)²－2r₁r₂－2r₁r₂cos2θ＝(2a)²－2r₁r₂(1＋cos2θ)，于是2r₁r₂(1＋cos2θ)＝4a²－4c²＝4b².
所以r₁r₂＝

.這樣即有S＝

sin2θ＝b²

＝b²tanθ.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓的右焦點

與拋物線

的焦點重合，過

且于x軸垂直的直線與橢圓交于S,T，與拋物線交于C，D兩點，且

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，若過點M(2,0)的直線

與橢圓相交于不同兩點A和B，且滿足

（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓

＝1的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當(dāng)k＝2時，求點P到直線AB的距離d；
(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于

，它的一個頂點恰好是拋物線

的焦點．

(1)求橢圓C的方程；
(2)己知點P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足

APQ=

BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方形CDEF內(nèi)接于橢圓

，且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行，正方形GHPQ的頂點G,H在橢圓上，頂點P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=

．

(1)求橢圓的方程；
(2)已知點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m:≠0)，l交橢圓于A,B兩個不同點，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓

，圓

，過橢圓上任一與頂點不重合的點P引圓O的兩條切線，切點分別為A,B，直線AB與x軸,y軸分別交于點M,N，則

_____________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：

＋y²＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當(dāng)坐標(biāo)原點到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為

，求a；
(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經(jīng)過一定點？如果經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：

＝1(a＞b＞0)的離心率為

，其左焦點到點P(2，1)的距離為

.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：

＝1(a>b>0)的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且

＋5

＝0.

(1)求橢圓E的離心率； (2)已知點D(1，0)為線段OF₂的中點，M為橢圓E上的動點(異于點A、B)，連結(jié)MF₁并延長交橢圓E于點N，連結(jié)MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結(jié)PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁、k₂，試問是否存在常數(shù)λ，使得k₁＋λk₂＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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