Question

在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，、分別為、的中點，
（1）證明：；
（2）求二面角的大小；
（3）求點到平面的距離．

Answer 1

arctan2，

．解：（Ⅰ）取AC中點D，連結SD、DB.      
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，
∴AC⊥SB.               
（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.
過N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
過E作EF⊥CM于F，連結NF，
則NF⊥CM.
∴∠NFE為二面角N－CM－B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.
在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N—CM—B的大小是arctan2
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，
∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.
設點B到平面CMN的距離為h，
∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，
∴h==.即點B到平面CMN的距離為