Question

（本題12分）如圖，四棱柱ABCD—ABCD中，AD平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA=2．
（1）求證：CD∥平面ABBA；
（2）求直線BD與平面ACD所成角的正弦值；
（3）求二面角D—AC一A的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）
（3）

（1）證明：四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁//CC₁，
又CC₁面ABB₁A₁，所以CC₁//平面ABB₁A₁，
ABCD是正方形，所以CD//AB，
又CD面ABB₁A₁，所以CD//平面ABB₁A₁，
所以平面CDD₁C₁//平面ABB₁A₁，
所以C_1D//平面ABB₁A₁。
（2）ABCD是正方形，AD⊥CD，
因為A₁D⊥平面ABCD，所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D－xyz，

在△ADA₁中，由已知可得A₁D＝，
所以D（0，0，0），A₁（0，0，），A（1，0，0），C₁（－1，1，）
B₁（0，1，），D₁（－1，0，），B（0，1，0）

因為A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
A₁D⊥B₁D₁，
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D₁，
所以平面A₁C₁D₁的一個法向量為＝（1，1，0）
設與所成的角為β，
則，
所以直線BD₁與平面A₁C₁D₁所成角的正弦值為。
（3）設平面A₁C₁A的法向量為，
則，所以
令c＝，可得＝
設二面角D—A₁C₁—A的大小為α，
則