Question

【題目】已知函數f（x）= （a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直． （Ⅰ）試比較20162017與20172016的大小，并說明理由；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）﹣k有兩個不同的零點x1 ， x2 ， 證明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）= ， ， 所以 ，又由切線與直線x+y+1=0垂直，
可得f′（1）=1，即 ，解得a=0．
此時 ， ，
令f'（x）＞0，即1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；
令f'（x）＜0，即1﹣lnx＜0，解得x＞e，
所以f（x）的增區間為（0，e），減區間為（e，+∞）．
所以f＞f，
即 ．
2017ln2016＞2016ln2017，即有20162017＞20172016 ．
（Ⅱ）證明：不妨設x1＞x2＞0，因為g（x1）=g（x2）=0，
所以化簡得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．
可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），
要證明， ，即證明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．
因為 ，即證 ，
即ln ＞ ，令 ，則t＞1，即證 ．
令 （t＞1）．
由 = ，
故函數h（t）在（1，+∞）是增函數，
所以h（t）＞h（1）=0，即 得證．
所以 ．
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，由兩直線垂直的條件：斜率相等，即可得到切線的斜率和切點坐標，進而f（x）的解析式和導數，求出單調區間，可得f＞f，即可得到20162017與20172016的大小；（Ⅱ）運用分析法證明，不妨設x1＞x2＞0，由根的定義可得所以化簡得lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0．可得lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），要證明， ，即證明lnx1+lnx2＞2，也就是k（x1+x2）＞2．求出k，即證 ，令 ，則t＞1，即證 ．令 （t＞1）．求出導數，判斷單調性，即可得證．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．