Question

【題目】定義在R上的可導函數f（x），其導函數記為f'（x），滿足f（x）+f（2﹣x）=（x﹣1）2 ， 且當x≤1時，恒有f'（x）+2＜x．若 ，則實數m的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，1]
B.
C.[1，+∞）
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）+2x﹣ ， g′（x）=f′（x）+2﹣x，當x≤1時，恒有f'（x）+2＜x．
∴當x≤1時，g（x）為減函數，
而g（2﹣x）=f（2﹣x）+2（2﹣x）﹣ ，
∴f（x）+f（2﹣x）=g（x）﹣2x+ +g（2﹣x）﹣2（2﹣x）+
=g（x）+g（2﹣x）+x2﹣2x﹣2=x2﹣2x+1．
∴g（x）+g（2﹣x）=3．
則g（x）關于（1，3）中心對稱，則g（x）在R上為減函數，
由 ，得f（m）+2m ≥f（1﹣m）+2（1﹣m）﹣ ，
即g（m）≥g（1﹣m），
∴m≤1﹣m，即m ．
∴實數m的取值范圍是（﹣∞， ]．
故選：D．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．