Question

【題目】若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切線”．下列方程：
①x2﹣y2=1；
②y=x2﹣|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
對應的曲線中存在“自公切線”的有（ ）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①、x2﹣y2=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②、y=x2﹣|x|= ，在 x= 和 x=﹣ 處的切線都是y=﹣ ，故②有自公切線．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= ，sinφ= ，
此函數是周期函數，過圖象的最高點的切線都重合，故此函數有自公切線．
④、由于|x|+1= ，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，結合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
所以答案是 C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解命題的真假判斷與應用的相關知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．