Question

從一塊圓心角為

2π

3

，半徑為R的扇形鋼板上切割一塊矩形鋼板，請問怎樣設計切割方案，才能使矩形面積最大？并說明理由．

Answer 1

考點：基本不等式,扇形面積公式

專題：不等式的解法及應用

分析：對甲種裁法分析設OE=a，EF=b，則得出面積，利用基本不等式求最值的方法求出最大面積；對乙種裁法分析設∠COB=θ，利用三角函數表示出長為2Rsin（60°-θ），用正弦定理，表示BC，進而表示出面積，比較看哪個面積大即可．

解答： 解：方案一：GF∥ON
設OE=a，EF=b，S矩形OEFG=OE×EF=ab≤

a2+b2

2

，a²+b²=R²
當a=b時，S_矩形OEFG的最大值為

R2

2

．


方案二：AB∥MN

設∠COB=θ，(0＜θ＜

π

3

)AB=2OCsin(

π

3

-θ)=2Rsin(

π

3

-θ)
在△BOC中運用正弦定理，

OC

sin∠OBC

=

BC

sin∠BOC

∠OBC=

2π

3

，

R

sin 2π 3

=

BC

sinθ

，BC=

2Rsinθ

3

，
S_矩形ABCD=AB×CD=

2Rsinθ

3

2Rsin(

π

3

-θ)，
令y=sinθsin(

π

3

-θ)=-

1

2

[cos(θ+

π

3

-θ)-cos(θ-

π

3

+θ)]=

1

2

cos(2θ-

π

3

)-

1

4

，當θ=

π

6

時，ymax=

1

4

，
S_矩形OEFG的最大值

R2

3

=

3 R2

3

而

3 R2

3

＞

R2

2

故選方案二才能使矩形面積最大．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及運用兩角和與差的正弦函數的能力，求正弦函數最值的能力．