Question

已知函數f（x）=ln

x

a

，g（x）=

x-a

ax

，a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，求a的值；
（2）證明：當x＞a時，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方；
（3）當a=1時，設曲線C：h（x）=f（x）-e[1+

x

•g（x）]（e為自然對數的底數），h′（x）表示h（x）的導函數，求證：對于曲線C上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀）．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點（1，f（1））在曲線上，利用方程聯立解出a的值；
（2）令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x-a

ax

（x＞a＞0），證明φ（x）在（a，+∞）上單調遞減，且φ（a）=0，即可得出結論；
（3）若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀），則x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，設F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），則F（x）是關于x的一次函數，只需證明F（x）在（x₁，x₂）上單調，且滿足F（x₁）F（x₂）＜0．將x₁，x₂看作自變量，得到兩個新函數足F（x₁）、F（x₂），討論它們的最值即可．

解答： （1）解：∵f（x）=ln

x

a

，
∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln

1

a

，
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0，
∴1-ln

1

a

-1=0，
∴a=1；
（2）解：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x-a

ax

（x＞a＞0），則φ′（x）=-

( x - a )2

2x ax

＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上單調遞減，且φ（a）=0，
∴x＞a時，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴當x＞a時，f（x）的圖象始終在g（x）的圖象的下方；
（3）證明：由題意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀），
則

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，
∴x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，
設F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），則F（x）是關于x的一次函數，
∴只需證明F（x）在（x₁，x₂）上單調，且滿足F（x₁）F（x₂）＜0．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），
將x₁，x₂看作自變量，得到兩個新函數足F（x₁）、F（x₂），討論它們的最值．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F′（x₁）=ln

x2

x1

＞0，函數是增函數，
∵x₁＜x₂，
∴F（x₁）＜F（x₂）=0．
同理F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），函數是增函數，∴F（x₁）＞F（x₂）=0．
∴F（x₁）F（x₂）＜0
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有零點x₀，
∵

x2

x1

＞1，
∴ln

x2

x1

＞0，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），）在（x₁，x₂）上是增函數，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有唯一零點x₀，
∴對于曲線C上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于h′（x₀）．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，正確構造函數是關鍵．