Question

【題目】已知在多面體中，，，，，且平面平面.

（1）設點為線段的中點，試證明平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結合平面，即可證明平面；

（2）由空間向量的應用，建立以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.

（1）證明：取的中點，連接，，

∵在中，∴.

∴由平面平面，且交線為得平面.

∵，分別為，的中點，∴，且.

又，，∴，且.

∴四邊形為平行四邊形.∴，

∴平面.

（2）∵平面，，

∴以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，.

∵平面，∴直線與平面所成的角為.

∴.∴.

可取平面的法向量，

設平面的法向量，，，

則，取，則，.∴，

∴，

∴二面角的余弦值為.