Question

【題目】在數列{an}中，已知a1= ，an+1= an﹣ ，n∈N* ， 設Sn為{an}的前n項和．
（1）求證：數列{3nan}是等差數列；
（2）求Sn；
（3）是否存在正整數p，q，r（p＜q＜r），使Sp ， Sq ， Sr成等差數列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an+1= an﹣ ，n∈N*，

得到3n+1an+1=3nan﹣2，

則3n+1an+1﹣3nan=﹣2．

又∵a1= ，

∴3×a1=1，

數列{3nan}是以1為首項，以﹣2為公差的等差數列

（2）解：由（1）可以推知：3nan=1﹣2（n﹣1），

所以，an= ，

所以Sn= ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ，①

Sn= ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ，②

①﹣②，得

Sn= ﹣2（ + + +…+ ）﹣ ，

= ﹣2× ﹣ ，

= ，

所以Sn=

（3）解：假設存在正整數p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差數列．

則2Sq=Sp+Sr，

即 = + ．

由于當n≥2時，an= ＜0，

所以數列{Sn}單調遞減．

又p＜q，

所以p≤q﹣1且q至少為2，

所以 ≥ ， ﹣ = ．

①當q≥3時， ≥ ≥ ，

又 ＞0，

所以 ＜ + ，等式不成立．

②當q=2時，p=1，

所以 = + ．

所以 = ，

所以r=3，（數列{Sn}單調遞減，解唯一確定）．

綜上可知，p，q，r的值分別是1，2，3

【解析】（1）把給出的數列遞推式an+1= an﹣ ，n∈N* ， 變形后得到新數列{3nan}，該數列是以1為首項，以﹣2為公差的等差數列；（2）由（1）推出{an}的通項公式，利用錯位相減法從而求得求Sn；（3）根據等差數列的性質得到2Sq=Sp+Sr ， 從而推知p，q，r的值．
【考點精析】利用等差關系的確定和數列的前n項和對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．