Question

5．（Ⅰ）計算由直線y=x-4，曲線y=$\sqrt{2x}$以及x軸所圍圖形的面積S．
（Ⅱ）試判斷$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$的大小，并證明你的判斷．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先計算兩個曲線的交點，然后利用定積分表示封閉圖形的面積，并且計算面積即可．
（Ⅱ）兩個數都是正的無理數，所以利用平方后作差法找出大小關系．

解答 解：（Ⅰ）由直線y=x-4，曲線y=$\sqrt{2x}$相交的交點為（8，4）所以由直線y=x-4，曲線y=$\sqrt{2x}$以及x軸所圍圖形的面積S=${∫}_{0}^{4}（y+4-\frac{{y}^{2}}{2}）dy=（\frac{1}{2}{y}^{2}+4y-\frac{1}{6}{y}^{3}）{|}_{0}^{4}$=$\frac{40}{3}$；
（Ⅱ）要判斷$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$的大小，因為（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）=13+2$\sqrt{42}$，（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$）=13+4$\sqrt{10}$，所以只要判定$\sqrt{42}$與$\sqrt{40}$ 的大小，顯然$\sqrt{42}＞\sqrt{40}$，
所以$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了定積分的運用以及分析法判定兩個正無理數的大小；關鍵是利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計算定積分．