Question

20．已知函數f（x）=cos（$\frac{2π}{3}$x）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$x）+a，g（x）=2^x-x²，若f[g（x）]≤0對x∈[0，1]恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）（參考公式：cos（2α）=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

• A． （-∞，$\sqrt{3}$-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． （-∞，1-$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 在同一坐標系內畫出函數$y={x}^{2}+1，y={2}^{x}，y={x}^{2}+\frac{3}{2}$的圖象，可得$1≤{2}^{x}-{x}^{2}＜\frac{3}{2}$，換元后分離參數a，求出函數值域得答案．

解答 解：在同一坐標系內畫出函數$y={x}^{2}+1，y={2}^{x}，y={x}^{2}+\frac{3}{2}$的圖象如圖：

由圖可知，在x∈[0，1]上，${x}^{2}+1≤{2}^{x}＜{x}^{2}+\frac{3}{2}$恒成立，
即$1≤{2}^{x}-{x}^{2}＜\frac{3}{2}$，當且僅當x=0或x=1時等號成立．
∴1≤g（x）＜$\frac{3}{2}$．設g（x）=t，則1$≤t＜\frac{3}{2}$．
f[g（x）]≤0等價于f（t）≤0，
即cos（$\frac{2π}{3}$t）+（a-1）sin（$\frac{π}{3}$t）+a≤0，
∵1$≤t＜\frac{3}{2}$，∴$\frac{π}{3}t$∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$），
再設sin$\frac{π}{3}t$=m，則$\frac{\sqrt{3}}{2}≤m＜1$，
則原不等式可化為$1-2si{n}^{2}\frac{π}{3}t+（a-1）sin\frac{π}{3}t+a≤0$，
即1-2m²+（a-1）m+a≤0，
∴a$≤\frac{2{m}^{2}+m-1}{m+1}=2m-1$．
而$\sqrt{3}-1≤2m＜1$，∴a$≤\sqrt{3}-1$．
故選：A．

點評 本題考查恒成立問題，考查三角函數的圖象和性質，體現了數形結合的解題思想方法，屬難題．