Question

17．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}}{a（x+b）}$在點（2，f（2））處的切線方程為y=2．
（1）求a，b的值；
（2）已知各項均為負的數列{a_n}滿足4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，（S_n為數列{a_n}的前n項和），求證：-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜ln$\frac{n+1}{n}$＜-$\frac{1}{{a}_{n}}$；
（3）設b_n=-$\frac{1}{{a}_{n}}$，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₁₇-1＜ln2017＜T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{2x（x+b）-{x}^{2}}{a（x+b）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2bx}{a（x+b）^{2}}$，可得f′（2）=$\frac{4+4b}{a（2+b）^{2}}$=0，又f（2）=$\frac{4}{a（2+b）}$=2，聯立解得a，b．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$，可得4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，化為：2S_n=a_n-${a}_{n}^{2}$．利用遞推關系可得：a_n-a_n-1=-1，可得：a_n=-n．因此證明：-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜ln$\frac{n+1}{n}$＜-$\frac{1}{{a}_{n}}$；即證明：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．令g（x）=ln（x+1）-x，g（0）=0，x∈[0，1]．利用導數研究其單調性即可證明：ln（x+1）≤x，令x=$\frac{1}{n}$，則$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．同理令h（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，則h（x）在（0，1）上單調遞增．即可證明左邊．
（3）b_n=-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，T_n為數列{b_n}的前n項和，T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$．由（2）可得：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．分別取n=1，2，…，2016，右邊累加求和可得：ln2017＜T₂₀₁₆．左邊累加求和可得：T₂₀₁₇-1＜ln2017．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{2x（x+b）-{x}^{2}}{a（x+b）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2bx}{a（x+b）^{2}}$，∴f′（2）=$\frac{4+4b}{a（2+b）^{2}}$=0，又f（2）=$\frac{4}{a（2+b）}$=2，
聯立解得b=-1，a=2．
（2）證明：由（1）可得：f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$，∵4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，
∴4S_n•$\frac{1}{2{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=1，化為：2S_n=a_n-${a}_{n}^{2}$．
∴n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n-${a}_{n}^{2}$-a_n-1+${a}_{n-1}^{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∵a_n+a_n-1＜0，
∴a_n-a_n-1=-1，
n=1時，$2{a}_{1}={a}_{1}-{a}_{1}^{2}$，a₁＜0，解得a₁=-1．
∴a_n=-1-（n-1）=-n．
因此證明：-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜ln$\frac{n+1}{n}$＜-$\frac{1}{{a}_{n}}$；即證明：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
令g（x）=ln（x+1）-x，g（0）=0，x∈[0，1]．
g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1≤0，∴函數g（x）在x∈[0，1]單調遞減．
∴g（x）≤g（0），
可得：ln（x+1）≤x，
令x=$\frac{1}{n}$，則$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
同理令h（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，則h（x）在（0，1）上單調遞增．
∴h（x）＞h（0）=0．
∴ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，
令x=$\frac{1}{n}$，則$ln\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{1+n}$．
綜上可得：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
（3）證明：b_n=-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，T_n為數列{b_n}的前n項和，T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$．
由（2）可得：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
分別取n=1，2，…，2016，
右邊累加求和可得：$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}$+…+$ln\frac{2017}{2016}$＜1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2016}$，
∴ln2017＜T₂₀₁₆．
左邊累加求和可得：$\frac{1}{2017}+\frac{1}{2016}$+…+$\frac{1}{2}$＜$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}$+…+$ln\frac{2017}{2016}$，
∴T₂₀₁₇-1＜ln2017．
綜上可得：T₂₀₁₇-1＜ln2017＜T₂₀₁₆．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性切線方程、數列遞推關系、導數函數的運算性質、累加求和方法、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．