Question

【題目】（2016年蘇州B19）已知函數f(x)=x|x－a|，a∈R，g(x)=x2－1.

（1）當a=1時，解不等式f(x)≥g(x)；

（2）記函數f(x)在區間[0，2]上的最大值為F(a)，求F(a)的表達式.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

【試題分析】（1）借助絕對值的定義討論當x≥1和x<1兩種情形下兩個不等式的解集，最后求這兩個二次不等式的并集；（2）依據題設條件運用分類整合思想，對實數a≤0；0<a<2；a≥2分三種情形，分別求出函數f(x)在區間[0，2]上的解析式，進而求出其最大值F(a)，然后再運用分段函數表示函數F(a)的解析式：

（1）解：f(x)≥g(x)，a=1時，即解不等式x|x－1|≥x2－1，

當x≥1時，不等式為x2－x≥x2－1，解得x≤1，所以x＝1；

當x<1時，不等式為x－x2≥x2－1，解得，

所以； 綜上， x∈.

（2）因為x∈[0，2]，當a≤0時，f(x)=x2－ax，則f(x)在區間[0，2]上是增函數，

所以F(a)=f(2)=4－2a；

當0<a<2時，，則f(x)在區間上是增函數，在區間上是減函數，在區間[a，2]上是增函數，所以F(a)=max{f()，f(2)}，

而，f(2)=4－2a，令即，

解得，

所以當時，F(a)= 4－2a；

令即，解得或，

所以當時，；

當a≥2時，f(x)=－x2＋ax，

當即2≤a<4時，f(x)在間上是增函數，在上是減函數，則；

當，即a≥4時，f(x)在間[0，2]上是增函數，則；

所以， ，