Question

【題目】已知函數

（1）若函數在區間上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）若，函數在處取得極小值，證明：.

Answer 1

【答案】（1），（2）見解析

【解析】

（1）要使函數在區間上單調遞增，只要其導函數大于等于零在區間上恒成立即可，然后分離參數構造函數進行求解

（2）由函數在處取得極小值可求出和的取值范圍， 所以要證，只需證明成立即可，然后構造函數利用導數即證明.

解：（1）因為函數在區間上單調遞增，所以≥0在上恒成立，

即≥0，

因為，所以≤在上恒成立，

令，，則，

所以在上遞減，所以

所以當≤0時，在區間上單調遞增，

所以a的取值范圍，

（2）因為函數在處取得極小值，所以，即，

得，所以

的定義域為，

因為 ，所以，

設的兩個根為，

解得，

由，得，

所以當時，； 當時，

又因為在處取得極小值，所以，

要證，只需證明成立即可，

令，則，

所以在上為減函數，

所以，

所以