Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點，點和點，動點滿足：.

（1）求動點的軌跡曲線的方程并說明是何種曲線；

（2）若拋物線：的焦點恰為曲線的頂點，過點的直線與拋物線交于，兩點，，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）動點的軌跡方程為：，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支；

（2）或

【解析】

（1）由動點滿足，可得到軌跡曲線為雙曲線的右支；

（2）由（1）可得F的坐標(biāo)，然后再求出拋物線的方程，設(shè)出直線的方程為，后根據(jù)焦點弦弦長公式得到關(guān)于k的方程，解出即可．

解：（1）根據(jù)雙曲線的定義：

點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支

且，所以，，，，

所以動點的軌跡方程為：.

（2）因為曲線的頂點為，所以拋物線的方程為：，

當(dāng)直線斜率不存在時，不滿足題意，

設(shè)直線：，

由拋物線的定義知：，，，

所以，

將代入得：，

所以，解得，

所以直線的方程為：或.