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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓上任意一點，且已知.

（1）若橢圓的短軸長為，求的最大值；

（2）若直線交橢圓的另一個點為，直線交軸于點，點關于直線對稱點為，且，三點共線，求橢圓的標準方程.

【答案】（1）5；（2）

【解析】

（1）由，，解方程組得到橢圓的方程，再利用兩點間的距離公式計算即可；

（2）當斜率為時，三點共線；當斜率不為時，設直線，聯(lián)立橢圓方程得到根與系數(shù)的關系，再利用三點共線，即計算即可得到橢圓方程.

（1）由題意，∴，且，∴，

所以，

設，則

∵，故當時，.

（2）當斜率為時，三點共線；

當斜率不為時，設直線，與橢圓，即聯(lián)立得：

，設，，則

，，

又由題知，，∴，

故由三點共線得，即，

∴，∴

代入韋達定理得：，∴，，

故橢圓方程為.

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（1）求橢圓的方程；

（2）設分別為橢圓的左、右頂點，如圖，過點分別作直線與，設直線交橢圓于另一點交橢圓于另一點，分別過和作橢圓的兩條切線，且兩條切線交于點，分別過和作橢圓的兩條切線，且兩條切線交于點．證明：點在直線上．

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（1）若點F的坐標為（﹣2，0），求點E的軌跡C的方程；

（2）在（1）的條件下，軌跡C上存在點T，使得，其中M，N為直線y＝kx+b（b≠0）與軌跡C的交點，求△MNT的面積．

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（1）求橢圓的方程；

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（Ⅱ）當時，恒有，求的取值范圍.

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（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關于原點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值，如果不是，請說明理由．

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