Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過坐標原點的直線與橢圓相交于、兩點，且滿足，求面積最大時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由題意列關于,,的方程組,求解,的值,則橢圓方程可求;

(2)由題意可知,直線的斜率存在,設直線的方程為,,,,,聯立直線方程與橢圓方程,化為關于的一元二次方程,利用根與系數的關系及向量等式可得值,寫出三角形面積公式,得到關于的函數式,整理后利用基本不等式求最值,然后求得的方程.

(1)由題意得,解得,

所以橢圓的方程為;

(2)由題意可知,直線的斜率顯然存在,

設直線的方程為,,,

由得,

①

所以,所以,

因為,所以,

所以,代入①得且,

所以

,

當且僅當,即時上式取等號,此時符合題意,

所以直線的方程為.