Question

【題目】已知函數，

（1）若，求的單調區間；

（2）若有最大值3，求的值.

（3）若的值域是，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數f(x)的遞增區間是(2,+∞),遞減區間是(∞,2)；（2）a=1；（3）{0}

【解析】

（1）當a=1時，，令，結合指數函數的單調性，二次函數的單調性和復合函數的單調性，可得f（x）的單調區間；

（2）令，，由于f（x）有最大值3，所以 h（x）應有最小值1，進而可得a的值．

（3）由指數函數的性質知，要使y=h（x）的值域為（0，+∞）．應使的值域為R，進而可得a的取值范圍．

(1)當a=1時, ，

令，

由于g(x)在(∞,2)上單調遞增,在(2,+∞)上單調遞減，

而在R上單調遞減，

所以f(x)在(∞,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增，

即函數f(x)的遞增區間是(2,+∞),遞減區間是(∞,2).

(2)令,,由于f(x)有最大值3，

所以h(x)應有最小值1，

因此=1，

解得a=1.

即當f(x)有最大值3時，a的值等于1.

(3)由指數函數的性質知，

要使y=h(x)的值域為(0,+∞).

應使的值域為R，

因此只能有a=0.

因為若a≠0,則h(x)為二次函數，其值域不可能為R.

故a的取值范圍是{0}.