Question

【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為萬元.該建筑物每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關系：.若不建隔熱層，每年的能源消耗費用為萬元.設為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和.

（1）求的值及的表達式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用最小，并求其最小值.

Answer 1

【答案】（1），（2）當隔熱層修建厘米厚時，總費用達到最小，且最小為萬元.

【解析】

（1）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為萬元．我們可得C（0）＝，得k＝36，進而得到．建造費用為C1（x）＝4x，則根據隔熱層建造費用與16年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，研究函數f（x）的單調性，然后根據函數單調性易求出總費用f（x）的最小值．

（1）由題意知：，代入中得，因此

，即

（2）由

令，則，考察函數在的單調性知：當時為減函數，當時為增函數，

此時

即當隔熱層修建厘米厚時，總費用達到最小，且最小為萬元.