Question

【題目】用兩種顏色去染正九邊形的頂點，每個頂點只染一種顏色，證明：在以這9點為頂點的所有三角形中，一定有兩個頂點同色的全等三角形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

至少有5個頂點涂以同色，不妨設為白色，這5個白點生成了個白色頂點的三角形.若繞正九邊形的中心旋轉，，則每次旋轉九個頂點都與原有的頂點集合不變，但9次旋轉白色頂點的共生成90個，而9個頂點共形成個三角形.

設原有頂點生成的三角形的集合為，則，其中5個頂點染自色，它們所生成的三角形，再經9次旋轉之后，所生成的三角形的集合為，則.由于，且每個白色頂點三角形經9次旋轉占有9個不同的位置，所以一定有兩個白色頂點的三角形在旋轉的過程中都與中的某一三角形重合.即存在，，有，，所以。