Question

【題目】已知，函數.

（Ⅰ）若函數在上遞減, 求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，求的最小值的最大值；

（Ⅲ）設，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）的最大值為;（Ⅲ）見解析.

【解析】（Ⅰ）根據題意，由函數為減函數，其導數小于或等于零，從而可算出實數的取值范圍；（Ⅱ）利用導數求出函數的極小值函數，再利用導數求出極小值函數的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可結論，對參數時行分類討論，利用導數判斷函數的單調性，并求其最小值，從而問題可得證.

試題解析：（Ⅰ） 函數在上遞減, 恒有成立,

而,恒有成立,

而, 則滿足條件.

（Ⅱ）當時,

	－	0	＋
	↘	極小值	↗

的最小值=，

	＋	0	－
	↗	極大值	↘

的最大值為

（Ⅲ） 當時，

所以在上是增函數，故

當時，

解得或，

綜上所述：