Question

【題目】函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，證明：對(duì)任意且．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)大小關(guān)系分類討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)，因此先利用分析法探求目標(biāo)函數(shù)：第一步，根據(jù)（1）得，第二步，同除以，將二元問題轉(zhuǎn)化為一元（關(guān)于），第三步，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)遞增），第四步，根據(jù)單調(diào)性，得不等關(guān)系，根據(jù)等價(jià)性得原不等式成立.

試題分析：解：（1），

，

令得.

當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，即時(shí)，令，得，所以在上單調(diào)遞減；

同理，可得在上單調(diào)遞增.

當(dāng)，即時(shí)，令，得，所以在上單調(diào)遞減；

同理，可得在上單調(diào)遞增.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，故.

不妨設(shè)，則要證，

只需證，

即證，

只需證，

令，

則，不等式可化為.

下面證明：對(duì)任意，

令，即，

則，

令，則，所以在上單調(diào)遞增，

又，所以當(dāng)時(shí)，即，

故在上單調(diào)遞增,

又，

所以當(dāng)時(shí)，，

故對(duì)任意，，

所以對(duì)任意且，.