【題目】為了迎接青奧會，南京將在主干道統一安裝某種新型節能路燈，該路燈由燈柱和支架組成．在如圖所示的直角坐標系中，支架ACB是拋物線y2=2x的一部分，燈柱CD經過該拋物線的焦點F且與路面垂直，其中C在拋物線上，B為拋物線的頂點，DH表示道路路面，BF∥DH，A為錐形燈罩的頂，燈罩軸線與拋物線在A處的切線垂直．安裝時要求錐形燈罩的頂到燈柱的距離是1.5米，燈罩的軸線正好通過道路路面的中線． 
（1）求燈罩軸線所在的直線方程；
（2）若路寬為10米，求燈柱的高．
【答案】
（1）解：由題意知，BF= 
，則xA=1.5+ =2，
代入y2=2x得yA=2，故A（2，2）．
設點A處的切線方程為y﹣2=k（x﹣2），
代入拋物線方程y2=2x消去x，得ky2﹣2y+4﹣4k=0．
則△=4﹣4k（4﹣4k）=0，解得k= ．
故燈罩軸線的斜率為﹣2，其方程為y﹣2=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+6
（2）解：由于路寬為10，則當x= 
時，y=﹣5，從而FD=5．
又CF=1，則CD=6．
答：燈柱的高為6米
【解析】（1）求出A的坐標，設點A處的切線方程，代入拋物線方程，求出斜率，即可得出燈罩軸線所在的直線方程；（2）求出FD，利用CF，可求燈柱的高．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式在最值問題中的應用的相關知識，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”．
通城學典默寫能手系列答案
金牌教輔培優優選卷期末沖刺100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2 
sin（x+ 
）cos（x+ ）+sin2x+a的最大值為1．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）將f（x）的圖象向左平移 
個單位，得到函數g（x）的圖象，若方程g（x）=m在x∈[0， 
]上有解，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四邊形ABCD中，已知 
∥ 
， 
=（6，1）， =（x，y）， 
=（﹣2，﹣3）．
（1）求用x表示y的關系式；
（2）若 
⊥ 
，求x、y值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=﹣x3符合條件②的區間[a，b]
（2）判斷函數f（x）= 
是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+ 
是閉函數，求實數k的范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
．A為橢圓上異于頂點的一點，點P滿足 
= 
， 
（1）若點P的坐標為（2， 
），求橢圓的方程；
（2）設過點P的一條直線交橢圓于B，C兩點，且 
=m 
，直線OA，OB的斜率之積﹣ 
，求實數m的值；
（3）在（1）的條件下，是否存在定圓M，使得過圓M上任意一點T都能作出該橢圓的兩條切線，且這兩條切線互相垂直？若存在，求出定圓M；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】△ABC的三個頂點分別為A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經過點D（0，4）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC外接圓M的方程；
（3）若直線l與圓M相交于P，Q兩點，且PQ=2 
，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，經過B（1，2）作兩條互相垂直的直線l1和l2 ， l1交y軸正半軸于點A，l2交x軸正半軸于點C． 
（1）若A（0，1），求點C的坐標；
（2）試問是否總存在經過O，A，B，C四點的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請說明理由．
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