Question

【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數．
（1）求閉函數y=﹣x3符合條件②的區間[a，b]
（2）判斷函數f（x）= 是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+ 是閉函數，求實數k的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，y=﹣x3在[a，b]上遞減，則 ，

所以，所求的區間為[﹣1，1]

（2）解： ，在（﹣∞，﹣1）上單調遞增，在（﹣1，+∞）上單調遞增，

所以，函數在定義域上不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數

（3）解：若 是閉函數，則存在區間[a，b]，在區間[a，b]上，

函數f（x）的值域為[a，b]，即 ，

∴ 的兩個實數根，

即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有兩個不等的實根．

當 ．

當 此不等式組無解．

綜上所述，

【解析】（1）根據函數的單調性得到關于a，b的方程組，解出即可；（2）將f（x）變形，得到f（x）的單調區間，根據閉函數的定義判斷即可；（3）根據閉函數的定義得到方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有兩個不等的實根，通過討論k，得到關于k的不等式組，解出即可．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數單調性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．