【題目】某大型商場為迎接新年的到來，在自動扶梯
的C點的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌DE．如圖所示，廣告牌底部點E正好為DC的中點，電梯AC的坡度
．某人在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角
．當(dāng)人在A點時，觀測到視角∠DAE的正切值為
．
（1）求扶梯AC的長
（2）當(dāng)某人在扶梯上觀察廣告牌的視角θ最大時，求CP的長．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）設(shè)
，用
分別表示出
和
，利用兩角和的正切公式求出，再根據(jù)
的范圍求解出答案；
（2）作
且交
于點
，設(shè)
，用分別表示出
和
，利用兩角差的正切公式表示出
，利用基本不等式求出的最大值，此時
即
取最大值，利用基本不等式取最值的條件求出，再求出
即可.
（1）由題意，
為
的中點，
,所以
，
設(shè)，則
，
，
在
中，
，
在
中，
，
由兩角和的正切公式，
，
，所以
，解得
，或
，
因為
，所以，
，
所以扶梯AC的長為米；
（2）作且交于點，如圖所示，
設(shè)，則
，
，由（1）知，
，
，
，
當(dāng)取最大值時，即取最大值，
，
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時等式成立，
所以此時
.
口算心算速算應(yīng)用題系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是平行四邊形，
，側(cè)面
底面，
，
，
、
分別為
，
的中點，點
在線段
上.
（1）若為的中點，求證：平面
平面
;
（2）求證：
平面
;
（3）若
，求點
到平面
的距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C1：x2+y2=1，以平面直角坐標(biāo)系xoy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線
：ρ(2cosθ-sinθ)=6.
（Ⅰ）將曲線C1上的所有點的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)分別伸長為原來的
、2倍后得到曲線C2，試寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的參數(shù)方程.
（Ⅱ）在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我市準(zhǔn)備實施天然氣價格階梯制，現(xiàn)提前調(diào)查市民對天然氣價格階梯制的態(tài)度，隨機(jī)抽查了
名市民，現(xiàn)將調(diào)查情況整理成了被調(diào)查者的頻率分布直方圖（如圖）和贊成者的頻數(shù)表如下：
年齡（歲） |
|
|
|
|
|
|
贊成人數(shù) |
|
|
|
|
|
|
（1）若從年齡在
，
的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取
人進(jìn)行調(diào)查，求所選取的
人中至少有
人對天然氣價格階梯制持贊成態(tài)度的概率；
（2）若從年齡在，
的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查，記選取的人中對天然氣價格實施階梯制持不贊成態(tài)度的人數(shù)為
，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高二學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
年級名次 是否近視 | 1～50 | 951～1000 |
近視 | 41 | 32 |
不近視 | 9 | 18 |
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？
（2）在（1）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在一次田徑比賽中，35名運(yùn)動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示。
若將運(yùn)動員按成績由好到差編為1—35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5人，則其中成績在區(qū)間
上的運(yùn)動員人數(shù)為
A.6B.5C.4D.3
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的部分圖象如圖所示：
（I）求
的解析式及對稱中心坐標(biāo)；
（Ⅱ）將的圖象向右平移
個單位,再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,最后將圖象向上平移1個單位,得到函數(shù)
的圖象,求函數(shù)
在
上的單調(diào)區(qū)間及最值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在
中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，
.
（1）求角C；
（2）設(shè)D為邊AC上一點，AD＝BD，若BC＝2，
的面積為3，求的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機(jī)器�，F(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：
維修次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 |
臺數(shù) | 5 | 10 | 20 | 15 |
以這50臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？
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