Question

【題目】在四棱錐中，平面平面.底面為梯形，，，且，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若是棱的中點(diǎn)，求證：對(duì)于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系后，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量是，平面的一個(gè)法向量為，利用即可得解；

（3）利用反證法，假設(shè)棱上存在點(diǎn)，，由題意，，設(shè)可得，此方程無(wú)解，故假設(shè)錯(cuò)誤，即可得證.

（1）證明：因?yàn)槠矫?/span>平面， 平面平面，

平面， ，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，，所以.

由（1）得平面，所以，

故，，兩兩垂直.

如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量是.

而，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由 得 取，有，

所以.

由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（3）證明：假設(shè)棱上存在點(diǎn)，，設(shè).

依題意，可知，，，

所以，，設(shè)，

根據(jù)假設(shè)，有 ，而此方程組無(wú)解，故假設(shè)錯(cuò)誤，問(wèn)題得證.