Question

【題目】設函數

（1）當a＝b＝1時，求函數f（x）的圖象在點（e2，f（e2））處的切線方程；

（2）當b＝1時，若存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3x+4y﹣e2＝0（2）

【解析】

（1）求，即可求解；

（2）存在，使f（x1）≤f'（x2）+a成立，轉化為，通過配方法求出，對分類討論，確定的單調性或求出的極小值，進而求出的最小值，即可求解.

（1）當a＝b＝1時，f（x），，

，f'（e2），

故函數f（x）的圖象在點（e2，f（e2））處的切線方程為3x+4y﹣e2＝0；

（2）當b＝1時，f（x），

，

設，

當x∈[e，e2]時，，g（x），

故存在，使成立，

只需x∈[e，e2]，即可，下面求f（x）的最小值，

由于，

當a時，f'（x）≤0，f（x）在[e，e2]遞減，

，得；

當時，x∈[e，e2]，

由于，

若﹣a≥0，即f'（x）≥0，f（x）遞增，

，故不成立；

若﹣a＜0，即0＜a，根據復合函數的單調性，

f'（x）在[e，e2]單調遞增，存在唯一零點m∈（e，e2），

f'（m）＝0，使得f（x）在[e，m]，f'（x）＜0，f（x）遞減；

f（x）在（m，e2]，f'（x）＞0，f（x）遞增；

故f（x），m∈（e，e2），

若成立，即成立，

設，x∈（e，e2），

遞減，

所以，

所以不成立；

綜上，，

故a的最小值為．