Question

已知曲線Γ上的點到點F（0，1）的距離比它到直線y=-3的距離小2．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A．直線y=3分別與直線l及y軸交于點M，N，以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B，試探究：當點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度是否發生變化？證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設S（x，y）曲線Γ上的任意一點，利用拋物線的定義，判斷S滿足配額我想的定義，即可求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）通過拋物線方程利用函數的導數求出切線方程，求出A、M的坐標，N的坐標，以MN為直徑作圓C，求出圓心坐標，半徑是常數，即可證明當點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度不變．

解答： 解：（Ⅰ）設S（x，y）曲線Γ上的任意一點，
由題意可得：點S到F（0，1）的距離與它到直線y=-1的距離相等，
曲線Γ是以F為焦點直線y=-1為準線的拋物線，
∴曲線Γ的方程為：x²=4y．
（Ⅱ）當點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度不變，
證明如下：由（Ⅰ）可知拋物線的方程為y=

1

4

x2，
設P（x₀，y₀）（x₀≠0）則y₀=

1

4

x02，
由y′=

1

2

x得切線l的斜率k=y′

|

x=x0

=

1

2

x0
∴切線l的方程為：y-y0=

1

2

x0(x-x0)，即y=

1

2

x0x-

1

4

x02．
由

y= 1 2 x0x- 1 4 x02 y=0

得A(

1

2

x0，0)，
由

y= 1 2 x0x- 1 4 x02 y=3

得M(

1

2

x0+

6

x0

，3)，
又N（0，3），
所以圓心C（

1

4

x0+

3

x0

，3），半徑r=

1

2

|MN|=|

1

4

x0+

3

x0

||AB|=

|AC|2-r2

=

[ 1 2 x0-( 1 4 x0+ 3 x0 )]2+32-( 1 4 x0+ 3 x0 )2

=

6

∴點P在曲線Γ上運動（點P與原點不重合）時，線段AB的長度不變．

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系的應用，圓的方程函數的導數等指數的應用，難度較大．