Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，、分別為和的中點，且.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先根據且，且可知四邊形為平行四邊形，由此，進而得證；

（2）先證明平面，由此可以為坐標原點，射線、分別為軸、軸的正半軸，以平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式得解.

（1）如圖，取線段的中點，連接、，

為的中點，且，

又為的中點，且，且，

四邊形為平行四邊形，，

又平面，平面，平面；

（2）作于點，由，得，

，即為的中點，

，，，

又，平面，平面，從而有，

又，，平面，

故可以點為坐標原點，射線、分別為軸、軸的正半軸，以平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，

令，則、、、、，

，，

設平面的一個法向量為，則，

取，則，，可得，

又平面的一個法向量為，

設平面與平面所成銳二面角為，則，

因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.