Question

【題目】函數．

（1）求的單調區間；

（2）在函數的圖象上取兩個不同的點，令直線的斜率為，則在函數的圖象上是否存在點，且，使得？若存在，求兩點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）不存在，見解析

【解析】

（1）先求出，再對分四種情況討論得到函數的單調區間；

（2）假設存在，即滿足，不妨令，計算出得到存在， 只要證存在，令，故轉化為存在，即需要證明，再利用導數證明即得不存在.

（1）由題知定義域為，

①當時，，

令，解得，解得

即函數在上單調遞增，在及上單調遞減；

②當時，，在上，

即函數在上單調遞減；

③當時，

令，解得，解得

即函數在上單調遞增，在（0，1）及上單調遞減；

④當時，

令，解得，解得

即函數在上單調遞增，在（0，1）上單調遞減

綜上所述：

當時，增區間為，減區間為及；

當時，減區間為；

當時，增區間為，減區間為（0，1）及；

當時，減區間為（0，1），增區間為；

（2）假設存在，即滿足，

因為已知，不妨令，

則

而由

得存在，也就是證存在，

只要證存在，

令，故轉化為存在，

即需要證明，令

則有，

故在上單調遞增，所以，

故不存在．